O capital que uma renda vitalícia exige, sem ilusão
Uma renda mensal de R$ 5.000,00 pode exigir R$ 1.000.000,00 ou R$ 2.500.000,00, e a diferença está inteira na taxa que sobra depois da inflação.
R$ 5.000,00 por mês, para sempre, sem que o capital se esgote. Já vi esse objetivo vendido sob o apelo emocional de “viver de renda”. Slogan não sustenta decisão financeira. A conta sustenta.
Renda perpétua, ou perpetuidade, é o modelo em que um capital inicial gera pagamentos periódicos para sempre, sem que o principal se esgote. O princípio é simples: o valor retirado a cada período precisa ser igual aos juros gerados pelo capital naquele mesmo período.
Imagine uma caixa d’água, que é o seu capital. Uma torneira despeja água nela continuamente, que são os juros, e você tem um ralo por onde retira a água do seu consumo, que é a renda. Retirando pelo ralo exatamente a quantidade que a torneira colocou, o nível permanece inalterado para sempre.
O capital necessário sai da renda dividida pela taxa
Três variáveis estruturam a análise: $PV$, o capital de que você precisa hoje; $PMT$, a renda que você quer sacar a cada período; e $i$, a taxa de rendimento do capital nesse mesmo período. A fórmula da renda perpétua postecipada, aquela em que o saque ocorre no fim do período, é:
$$PV = \frac{PMT}{i}$$
Hipótese: uma aplicação que rende 0,5% a.m. Você quer sacar R$ 5.000,00 por mês. Qual é o capital necessário?
Passo 1, identificação dos dados: $PMT = 5.000$ e $i = 0{,}5\% = 0{,}005$, porque a taxa percentual entra na conta em forma decimal, dividida por 100.
Passo 2, aplicação da fórmula:
$$PV = \frac{5.000}{0{,}005}$$
Passo 3, resultado: $PV = 1.000.000$.
São R$ 1.000.000,00. Esse milhão, rendendo 0,5% a.m., gera R$ 5.000,00 de juros por mês, porque $1.000.000 \times 0{,}005 = 5.000$. No fim de cada mês você saca o rendimento e o principal continua intacto para gerar juros no mês seguinte.
A inflação derruba o modelo perfeito
O modelo acima é matematicamente irretocável, mas possui uma falha grave quando aplicado ao mundo real: ignora a inflação.
Sacando 100% dos juros todos os meses, o seu principal permanece em exatos R$ 1.000.000,00 para sempre. Só que R$ 5.000,00 hoje não terão o mesmo poder de compra daqui a dez ou vinte anos, porque os preços sobem. O seu dinheiro, numericamente igual, perde valor real.
Para a renda ser perpétua em poder de compra, o saque mensal precisa aumentar junto com a inflação, e o principal precisa crescer na mesma proporção. A regra técnica muda aqui: o que se pode sacar deixa de ser o juro inteiro e passa a ser a diferença entre a taxa do investimento e a inflação.
Subtrair a inflação da taxa muda o capital exigido
A perpetuidade com crescimento incorpora uma variável nova, $g$, que representa a taxa de crescimento da renda, aqui a inflação:
$$PV = \frac{PMT}{i – g}$$
Hipóteses: os mesmos R$ 5.000,00 mensais, taxa do investimento de 0,8% a.m. e inflação projetada de 0,3% a.m.
Passo 1, os dados: $PMT = 5.000$, $i = 0{,}008$, $g = 0{,}003$.
Passo 2, a fórmula:
$$PV = \frac{5.000}{0{,}008 – 0{,}003}$$
Passo 3, o denominador: $0{,}008 – 0{,}003 = 0{,}005$.
Passo 4, o resultado: $PV = 1.000.000$.
O milhão reapareceu por coincidência matemática. A rentabilidade subiu para 0,8% a.m. e a inflação de 0,3% a.m. consumiu justamente o acréscimo, deixando 0,5% a.m. de excedente sacável, o mesmo do primeiro exemplo.
Repare no denominador antes de trocar os números: ele exige que $i$ seja maior que $g$. Igualando-se as duas taxas, a divisão por zero acusa que não existe capital finito capaz de sustentar a renda, e com a inflação acima da taxa do investimento o resultado sai negativo, sem significado nenhum. Nos números a seguir, o excedente diminui, mas continua positivo.
E se o investimento continuasse rendendo os 0,5% a.m. do primeiro exemplo diante de uma inflação de 0,3% a.m.? O excedente cai para 0,2% a.m., e a exigência de patrimônio muda:
$$PV = \frac{5.000}{0{,}002} = 2.500.000$$
São R$ 2.500.000,00 para a mesma renda de R$ 5.000,00. Dois milhões e meio contra um milhão, e o que mudou entre um número e outro foram 0,3 ponto percentual ao mês.
Repare também no que acontece se, com o investimento a 0,8% a.m., a inflação for ignorada e a taxa bruta entrar na primeira fórmula: $5.000 \div 0{,}008 = 625.000$. O resultado indicaria que R$ 625.000,00 bastam. Essa omissão, gastar todo o rendimento sem reter a parcela de correção inflacionária, é o que leva muitos ao empobrecimento de longo prazo.
O extrato de doze meses mostra a conta funcionando
Acompanhe o dinheiro mês a mês, a partir do investimento inicial de R$ 1.000.000,00, com $i = 0{,}8\%$ a.m. e $g = 0{,}3\%$ a.m.
No mês 1, o banco remunera o capital à taxa combinada: $1.000.000 \times 0{,}008 = 8.000$. O mercado encareceu 0,3%, e para o milhão não perder poder de compra você é obrigado a reter essa mesma proporção: $1.000.000 \times 0{,}003 = 3.000$. Sobra para o consumo a diferença, $8.000 – 3.000 = 5.000$, e o saldo final fica em $1.000.000 + 3.000 = 1.003.000$.
No mês 2, os juros incidem sobre a base maior: $1.003.000 \times 0{,}008 = 8.024$. A correção também: $1.003.000 \times 0{,}003 = 3.009$. O saque sobe para $8.024 – 3.009 = 5.015$, e o saldo final vai a $1.003.000 + 3.009 = 1.006.009$.
| Mês | Saldo inicial | Rendimento (0,8% a.m.) | Retenção (0,3% a.m.) | Saque | Saldo final |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.000.000,00 | 8.000,00 | 3.000,00 | 5.000,00 | 1.003.000,00 |
| 2 | 1.003.000,00 | 8.024,00 | 3.009,00 | 5.015,00 | 1.006.009,00 |
| 3 | 1.006.009,00 | 8.048,07 | 3.018,03 | 5.030,05 | 1.009.027,03 |
| 4 | 1.009.027,03 | 8.072,22 | 3.027,08 | 5.045,14 | 1.012.054,11 |
| 5 | 1.012.054,11 | 8.096,43 | 3.036,16 | 5.060,27 | 1.015.090,27 |
| 6 | 1.015.090,27 | 8.120,72 | 3.045,27 | 5.075,45 | 1.018.135,54 |
| 7 | 1.018.135,54 | 8.145,08 | 3.054,41 | 5.090,68 | 1.021.189,95 |
| 8 | 1.021.189,95 | 8.169,52 | 3.063,57 | 5.105,95 | 1.024.253,52 |
| 9 | 1.024.253,52 | 8.194,03 | 3.072,76 | 5.121,27 | 1.027.326,28 |
| 10 | 1.027.326,28 | 8.218,61 | 3.081,98 | 5.136,63 | 1.030.408,26 |
| 11 | 1.030.408,26 | 8.243,27 | 3.091,22 | 5.152,04 | 1.033.499,48 |
| 12 | 1.033.499,48 | 8.268,00 | 3.100,50 | 5.167,50 | 1.036.599,98 |
Os valores da tabela estão arredondados no centavo apenas na apresentação, e as contas foram feitas sem arredondamento intermediário. No mês 3, por exemplo, os exatos são $1.006.009 \times 0{,}008 = 8.048{,}072$ de rendimento, $1.006.009 \times 0{,}003 = 3.018{,}027$ de retenção e saque de $8.048{,}072 – 3.018{,}027 = 5.030{,}045$.
Duas coisas acontecem ao mesmo tempo na tabela. Primeiro, o saque subiu de R$ 5.000,00 para R$ 5.167,50, cruzando a barreira dos R$ 5.100,00 no mês 8, e subiu porque as suas contas do dia a dia também ficaram mais caras: a conta previu e cobriu esse aumento. Segundo, o saldo não cresceu para deixar você mais rico, e sim para garantir que R$ 1.036.599,98 comprem, no fim do décimo segundo mês, exatamente o que R$ 1.000.000,00 compravam no dia zero.
Nenhuma das doze linhas precisa ser calculada uma a uma. Multiplicar o capital por 1,003 doze vezes seguidas é o que a potência abaixo representa, um mais a taxa de inflação elevado ao número de meses decorridos:
$$PV_n = PV \times (1+g)^n$$
Substituindo, $1.000.000 \times 1{,}003^{12} = 1.036.599{,}98$, que é a última linha da coluna de saldo final. O saque de cada mês segue a mesma lei, um período atrasado, porque ele nasce do saldo do mês anterior: $5.000 \times 1{,}003^{11} = 5.152{,}04$, o saque do mês 12. Guarde o número que a potência devolveu, 1,0365999, porque ele diz que doze meses de 0,3% a.m. acumulam 3,6600% no ano, e não os 3,6% que a multiplicação por doze sugere. A diferença de 0,06 ponto percentual é a taxa equivalente cobrando o que a taxa proporcional esconde.
O excedente sobre a inflação é tudo o que se pode gastar
Garantir que o valor nominal do capital cresça na mesma proporção da inflação, gastando apenas o rendimento excedente, é a forma técnica de impedir a corrosão do estoque de riqueza ao longo das décadas. Com a taxa do investimento e a inflação na mão, você já responde sozinho à pergunta que precede qualquer plano de renda vitalícia: quanto o mesmo saque custa em patrimônio quando o excedente encolhe. Trocar 0,5% a.m. por 0,2% a.m. transformou um milhão em dois milhões e meio, e nenhum desses dois números veio de expectativa. Vieram da subtração.